Question

 如图1，抛物线y=ax²＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图3，抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作直线，交线段于点，连接，使～，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

       图1                        图2                          图3

Answer

 【解析】
（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得  解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：

    （2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

    在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①

    设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

    ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得

    ∴点E坐标为（2，3）

    又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D

    ∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3

    当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

    ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 

    又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，   

    ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②  

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

   解得： 

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1

    ∴当x＝0时，y＝1  

∴点F坐标为（0，1）

∴=2………………………………………③   

  又∵点F与点I关于x轴对称，  

    ∴点I坐标为（0，－1）   

    ∴………④

  又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

    ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

    由图形的对称性和①、②、③，可知，

    DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

    只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

    设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：

     解得：

    过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

    ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；  

    ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

    ∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

    由③和④，可知：

    DF＋EI＝

∴四边形DFHG的周长最小为。 

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，  

    要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

    即：………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得  

  △AMN∽△ABD，

    ∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

 ∴

 ∵，

 ∴⑤式可写成：  

解得 或（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（，0）

又∵点T在抛物线图像上，

 ∴当x＝时，y＝ ∴点T的坐标为（，）.