Question

学习三角函数一章时，课堂上老师给出这样一个结论:当时，有恒成立，当老师把这个证明完成时，

(Ⅰ) 学生甲提出问题：能否在不等式的左边增加一个量，使不等号的方向得以改变？

下面请同学们证明：若，则 成立。

(Ⅱ) 当学生甲的问题完成时，学生乙提问：对于不等式是否也有相似的结论？

下面请同学们探讨：若，是否存在实数，使恒成立?如果存在,求出的一个值;如果不存在,请说明理由.

Answer

 解: (Ⅰ)证明:设,则 ……………………………1

           设,则

           故当时,函数单调递增,

且曲线在处连续不断而,……………………………5

所以, 当时, .

故当时,函数单调递增,

且曲线在处连续不断而,

所以, 当时, .即原不等式得证. ……………………………9

       (Ⅱ)不存在.解析如下:

           设,

①  若,由结论可知, ;……………………………10

②  若,当趋近于时,接近于某一个常数,而趋近于,不可能

使恒成立.

综上所述, 不存在实数使恒成立. ……………………………12