Question

 已知函数f (x)=a^x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．

（1）求；（注意：指数为x+2）

（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；

（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．

Answer

 【解析】
（1）令y=f (x)=ax+，于是y+1=ax+2，

∴ x+2=loga(y+1)，即x=loga(y+1)-2，

∴ =loga(x+1)-2(x>-1)．………………………………………………3分

（2）当01时，max=loga，min=-2，

∴ ，解得或（舍）．

∴ 综上所述，或．……………………………………………7分

（3）由已知有loga≤loga(x+1)-2，

即≤对任意的恒成立．

∵ ，∴ ≤．①

由>0且>0知x+1>0且x-1>0，即x>1，于是①式可变形为x≤a3，

即等价于不等式x2≤a3+1对任意的恒成立．

∵ u=a3+1在上是增函数，∴ ≤a3+1≤，于是x2≤，

解得≤x≤．结合x>1得1