Question

函数，其中为常数．

（1）证明：对任意，的图象恒过定点；

（2）当时，判断函数是否存在极值？若存在,求出极值；若不存在,说明理由；

（3）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．

Answer

【解析】
（1）令，得，且，

所以的图象过定点；  

（2）当时，， 

令，经观察得有根，下证明无其它根．

，当时，，即在上是单调递增函数．

所以有唯一根；且当时，，在 上是减函数；当时，，在上是增函数；

所以是的唯一极小值点．极小值是．

（3），令

由题设，对任意，有，，

又   

当时，，是减函数；

当时，，是增函数；

所以当时，有极小值，也是最小值，

又由得，得，即的最大值为．