Question

对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。

（1）试求函数的单调区间；

（2）已知各项均为负的数列满足，求证：；

（3）设，为数列的前项和，求证：。

Answer

（1）设

                ∴     ∴

           由

           又∵    ∴     ∴    …… 3分 

           于是

           由得或；   由得或

           故函数的单调递增区间为和，

单调减区间为和                       ……4分

（2）由已知可得，     当时，

     两式相减得

∴或

当时，，若，则这与矛盾

∴     ∴                       ……6分

于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式

令则，

再令，     由知

∴当时，单调递增    ∴   于是

即    ①

令，    由知

∴当时，单调递增    ∴   于是

即 ②

由①、②可知                  ……10分

所以，，即         ……11分

（3）由（2）可知   则

     在中令n=1,2,3…………..2010并将各式相加得

     即                                          ……14分