Question

 如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

  

Answer

解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以

（2）由得，，AC方程：即：

所以点P到直线AB的距离

（3）法一：由题意设，

A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，

，两式相减得：

法二：设,

A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,

,两式相减得：,

,