Question

 已知动直线与椭圆：交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点．

（Ⅰ）证明：和均为定值；

（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

 解析：（Ⅰ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，

由在椭圆上，则，而，则

于是，.

当直线的斜率存在，设直线为，代入可得

，即，，即

，

则，满足

，

，

综上可知，.

（Ⅱ））当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知

当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知，

，

，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为。

（Ⅲ）假设椭圆上存在三点，使得，

由（Ⅰ）知，

.

解得,，

因此只能从中选取，只能从中选取，

因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，

故椭圆上不存在三点，使得。