Question

 设函数＝，∈R

（Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；

（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立.

注：为自然对数的底数。

Answer

 本题主要考查函数极限的概念、导数运算法则、导数运用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力。分类讨论等分析问题和解决问题的能力。满分14分。

（Ⅰ）【解析】
求导得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).

            因为x=e是f(x)的极值点，所以f’(e)= ，解得 或，经检验，符合题意，所以 或。

（Ⅱ）【解析】
①当时，对于任意的实数a,恒有成立，

               ②当，由题意，首先有，

                解得

               由（Ⅰ）知，

               ，则，，

               且

                       =。

                       又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为，则，。

                       从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要

                        成立。

，知

（3）

将（3）代入（1）得，又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。

再由（3）以及函数2xlnx+x在（1.+ +∞)内单调递增，可得。

由（2）解得，。

所以

综上，a的取值范围为。