Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；

（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

Answer

【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,

由消y得:,

设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:

=,即,,

所以中点E的坐标为E,

因为O、E、D三点在同一直线上，

所以，即，

解得，

所以=,当且仅当时取等号,

即的最小值为2.

（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,

所以由得交点G的纵坐标为,

又因为,,且∙，所以,

又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,

即有,

令得,y=0,与实数k无关,

所以直线过定点(-1,0).

（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,

又在线段AB的中垂线上,

由（i）知点G(,所以点B(,

又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，

又因为，所以解得或，

又因为,所以舍去,即，

此时k=1，m=1，E，.

AB的中垂线为2x+2y+1=0，

圆心坐标为，圆半径为，圆的方程为.

综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为: .