Question

设，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．

Answer

 【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．

【解】（1）由题设知，

∴令0得=1，

当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。

当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，

因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以的最小值为

(2)

设，则，

当时，，即，

当时，，

因此，在内单调递减，

当时，

即

（3）由（1）知的最小值为1，所以，

，对任意，成立

即从而得。