Question

 如图，设P为抛物线：

上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。           

（Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

 本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）【解析】
由题意可知，抛物线C1的准线方程为：

所以圆心M到抛物线C1准线的距离为

 （Ⅱ）【解析】
设点P的坐标为(x0, x02)，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D。

        再设A,B,D的横坐标分别为

          过点P(x0, x02)的抛物线C1的切线方程为：

                                         （1）

          当时，过点P（1,1）与圆C2的切线PA为：。

         可得。

          所以。

         设切线PA.PB的斜率为，则  

                                       （2）

                                         （3）

        将分别代入（1），（2），（3），得

          从而

          又，

          即

          同理

          所以是方程的两个不相等的根，从而

，

因为，

所以即。

从而

进而得

综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为