Question

 （本小题满分12） 如图， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点

  （Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；

  （Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

Answer

 （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                            …………………1分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC1 ，又平面BCC1         ……………………………………3分

∴ AC⊥BC1             ………………………………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接         …………5分

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴  又且

∴平面，平面         ………7分

∴  又

∴是二面角的平面角      ……………………………………8分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在中，，，

∴       …………………………………………11分

∴二面角的正切值为  …………………………………………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………5分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………7分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  …………8分

则由   令，则，

∴                                          ………………10分

，则    ……………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为              ………………………… 12分