Question

    已知函数（且）．

    （I）当时，求证：函数在上单调递增；

    （II）若函数有三个零点，求t的值；

    （III）若存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，试求a的取值范围．

注：e为自然对数的底数。

Answer

【解析】
（Ⅰ），

    由于，故当x∈时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以，

    故函数在上单调递增。        ………………………………………4分

（Ⅱ）当 a＞0，a≠1时，因为 ，且  在R上单调递增，

    故 有唯一解x=0。

    要使函数  有三个零点，所以只需方程  有三个根，

    即，只要 ，解得t=2；  ………………………………9分

（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1,1]，使得，

    所以当x∈[﹣1,1]时，。

    由（Ⅱ）知，，

                。

    事实上，。

    记 （）

    因为 

    所以  在上单调递增，又。

    所以   当 x＞1 时，；

           当 0＜x＜1 时，，

    也就是当 a＞1时，；

    当 0＜a＜1时，。

    ① 当时，由，得，

                    解得 。

    ②当0＜a＜1时，由，得，

                    解得 。

    综上知，所求a的取值范围为。