Question

如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．

（1）证明△为直角三角形；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．…………………………………………………………………………………1分

记边上的中点为，在△中，，所以．

因为，，所以．………………3分

因为，所以△为直角三角形．

因为，，

所以．………4分

连接，在△中，因为，，

所以．…………5分

因为平面，平面，所以．

在△中，因为，，

所以．………………………………6分

在中，因为，，，

所以．

所以为直角三角形．……………………………………………………7分

证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．……………………………………………………1分

记边上的中点为，在△中，因为，所以．

因为，，所以．………………3分

连接，在△中，因为，，，

所以．………………………………4分

在△中，因为，，，

所以，所以．………………………………………5分

因为平面，平面，

所以．…………………………………………………………6分

因为，所以平面．

    因为平面，所以．

所以为直角三角形．……………………………………………………7分

（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，

则为直线与平面所成的角．…………………………………8分

由（1）知，△的面积．…………………9分

因为，所以．…………………………10分

由（1）知为直角三角形，，，

所以△的面积．…………………11分

因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，

即，所以．……………………………………12分

在△中，因为，，

所以．………………………………13分

因为．

所以直线与平面所成角的正弦值为．…………………………………………………14分

解法2：过点作，设，

则与平面所成的角等于与平面所成的角．……………………………………8分

由（1）知，，且，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

过点作于点，连接，

则平面．

所以为直线与平面所成的角．……10分

在△中，因为，，

所以．……………………………………11分因为，所以，即，所以．………………………………12分

由（1）知，，且，

所以．……………………………………13分

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值为．…………………………………………………14分

解法3：延长至点，使得，连接、，……………………………………8分

在△中，，

所以，即．

在△中，因为，，，

所以，

所以．

因为，

所以平面．…………………………………………………………………………………9分

过点作于点，

因为平面，

所以．

因为，

所以平面．

所以为直线与平面所成的角．……………………………………………………11分

由（1）知，，

所以．

在△中，点、分别为边、的中点，

所以．………………………………………………………12分

在△中，，，，

所以，即．……………………………………………………………13分

因为．

所以直线与平面所成角的正弦值为．…………………………………………………14分

解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，……………………………………………………………………8分

    则，，，．

于是，，．

设平面的法向量为，

则

即

取，则，．

所以平面的一个法向量为．………………………………12分

设直线与平面所成的角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，……………………………………………………………………………1分

    则，，．

于是，．

因为，

所以．

所以．

所以为直角三角形．…………………………………………………………7分

（2）由（1）可得，．

于是，，．

设平面的法向量为，

则即

取，则，．

所以平面的一个法向量为．…………………………………12分

设直线与平面所成的角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．……………………………14分