Question

已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；

Answer

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）【解析】
依题意可得，．……………………………………………1分

设双曲线的方程为，

因为双曲线的离心率为，所以，即．

所以双曲线的方程为．……………………………………………3分

（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），

则直线的方程为，………………………………………………4分

联立方程组…………………………………………………5分

整理，得，

解得或．所以．……………………………………6分

同理可得，．……………………………………………………………7分

所以．……………………………………………………………………8分

证法2：设点、（，，），

则，．…………………………………………………………………………4分

因为，所以，即．………………5分

因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．

即，．…………………………………………6分

所以，即．…………………………………7分

所以．………………………………………………………………………8分

证法3：设点，直线的方程为，……………………4分

联立方程组………………………………………………5分

整理，得，

解得或．…………………………………………………………………6分

将代入，得，即．

所以．……………………………………………………………………8分