Question

设函数(为自然对数的底数)，（）．

（1）证明：；

（2）当时，比较与的大小，并说明理由；

（3）证明：（）．

Answer

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）证明：设，

所以．…………………………………………………………1分

当时，，当时，，当时，．

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，………2分

因为，所以对任意实数均有 ．

即，

所以．……………………………………………………………3分

（2）【解析】
当时，．……………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知．

②假设当（）时，对任意均有，……………5分

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，．……………………………6分

即在上为增函数，亦即，

因为，所以．

从而对任意，有．

即对任意，有．

这就是说，当时，对任意，也有．

由①、②知，当时，都有．……………………8分

（3）证明1：先证对任意正整数，．

由（2）知，当时，对任意正整数，都有．

令，得．

所以．……………………………………………………………………9分

再证对任意正整数，．

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．……………………………………10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当（）时，不等式（*）成立，

即．……………………………………………………………………11分

则．

因为，…12分

所以．………………………………………13分

这说明当时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数，不等式成立．

………………14分

方法2（基本不等式法）：

因为，……………………………………………………11分

，

……，

，

将以上个不等式相乘，得．…………………………………13分

所以对任意正整数，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数，不等式成立．

……………14分