Question

如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．

（1）求三棱锥的体积；

（2）证明△为直角三角形．

Answer

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．…………………………………………………………………………………2分

记边上的中点为，在△中，因为，

所以．

因为，，

所以．………………………………………………………4分

所以△的面积．……………………………………………………5分

因为，

所以三棱锥的体积．……………………7分

（2）证法1：因为，所以△为直角三角形．

因为，，

所以．………………9分

连接，在△中，

因为，，，

所以．…………10分

由（1）知平面，又平面，

所以．

在△中，因为，，，

所以．……………………………………………………12分

在中，因为，，，

所以．………………………………………………………………………………13分

所以为直角三角形．……………………………………………………………………………14分

证法2：连接，在△中，因为，，，

所以．…………8分

在△中，，，，

所以，所以．………………10分

由（1）知平面，

因为平面，

所以．

    因为，

所以平面．…………………………………………………………………………………12分

    因为平面，所以．

所以为直角三角形．……………………………………………………………………………14分