Question

已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．

Answer

（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）【解析】
因为，所以．……………………1分

当时，，函数没有单调递增区间；……………………………………………2分

当时，令，得．

故的单调递增区间为；…………………………………………………………………3分

当时，令，得．

故的单调递增区间为．…………………………………………………………………4分

综上所述，当时，函数没有单调递增区间；

当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为．……………………………………5分

（2）【解析】
，由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和．

…………………………………6分

所以函数在处取得极小值，……………………………………………………7分

函数在处取得极大值．………………………………………………8分

由于对任意，函数在上都有三个零点，

所以即……………………………………………………………………10分

解得．……………………………………………………………………………………11分

因为对任意，恒成立，所以．………………13分

所以实数的取值范围是．……………………………………………………………………14分