Question

已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线的方程；

（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；

（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围．

Answer

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）【解析】
依题意可得，．…………………………………………………………………1分

设双曲线的方程为，

因为双曲线的离心率为，所以，即．

所以双曲线的方程为．……………………………………………………………………3分

（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），

则直线的方程为，………………………………………………………………………4分

联立方程组………………………………………………………………………………5分

整理，得，

解得或．所以．…………………………………………………………6分

同理可得，．…………………………………………………………………………………7分

所以．……………………………………………………………………………………………8分

证法2：设点、（，，），

则，．…………………………………………………………………………4分

因为，所以，即．……………………………………5分

因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．

即，．…………………………………………………………………6分

所以，即．……………………………………………………7分

所以．……………………………………………………………………………………………8分

证法3：设点，直线的方程为，………………………………………4分

联立方程组…………………………………………………………………………5分

整理，得，

解得或．…………………………………………………………………6分

将代入，得，即．

所以．…………………………………………………………………………………………8分

（3）【解析】
设点、（，，），

则，．

因为，所以，即．…………………………9分

因为点在双曲线上，则，所以，即．

因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．…………………………………………10分

因为，，

所以．……………………………11分

由（2）知，，即．

设，则，

．

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

因为，，

所以当，即时，．……………………………………………12分

当，即时，．………………………………………………13分

所以的取值范围为．……………………………………………………………………14分

说明：由，得，给1分．