Question

    设二次函数，函数，且有，

    （1）求函数的解析式；

    （2）是否存在实数k和p，使得成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，说明理由。

    请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

Answer

 （Ⅰ），，

，，即，

 ．                                                     （2分）

 ，．， ，

  解得，（）．                   （4分）

  （Ⅱ）令，可得（）．

  （法一）， ，

  ，，

  ，，，

  即与有且仅有一个交点为，

  在点处的切线为．                         （8分）

  （法二）设（），

          （），

              令，解得，

              且时，，单调递减，

              时，，单调递增，

              时，．

   所以，与有且仅有一个交点为．

   在点处的切线为．                           （8分）

        下面证明．

        设（），

   （法一）

               ，，即．        （12分）

   （法二），令，解得．

   且时，，单调递减，

               时，，单调递增，

               时，，即．          （12分）