Question

设函数（），其中。

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

   （Ⅲ）当时，在区间上是否存在实数使不等式

对任意的恒成立 , 若存在,求出的值,若不存在,说明理由。

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，，得，且

      ，．

      所以，曲线在点处的切线方程是，

      整理得．            ……………………………………………………4分

  （Ⅱ） 【解析】

   ．

        令，解得或．         … ………………………………………5分

        由于，以下分两种情况讨论．

      （1）若，当变化时，的正负如下表：

     因此，函数在处取得极小值，且；

     函数在处取得极大值，且．   ………………………………7分

    （2）若，当变化时，的正负如下表：

   因此，函数在处取得极小值，且；

   函数在处取得极大值，且．   ……………………9分

（Ⅲ） 假设在区间上存在实数满足题意.

    由，得，当时，

    ，．        ……………………………………………………10分

    由（Ⅱ）知，在上是减函数，

    要使，

    只要

    即       ①           ……………………………………12分

    设，则函数在上的最大值为．

    要使①式恒成立，必须，即或．

   所以，在区间上存在，使得对任意的恒成              立．                                                ……………………………………14分