Question

 三棱柱的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的正切值.

Answer

 解:由三视图可知，几何体为直三棱柱—，侧面

为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，………２分（1）连BC交于O，连接OD，在中，O，D分别是，

AC的中点，

而平面，平面，平面………………..４分

（2）直三棱柱—中，平面，平面，

 ，，D为AC的中点，，

 平面，①………………..６分

 又，

 在正方形②………………..８分

      由①②，又，

……………………………………………………………9

（3）解法一；提示：所求二面角与二面角C--D互余……………………………………..12

取BC中点H，有DH⊥平面，过H作垂线，垂足为E，

所以二面角C--D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分

，因为二面角A--D与二面角C--D互余，所以二面角A--D的正切值为；……………..14

B

解法二（补形）如图补成正方体，易得∠O1OS为二面角的平面角，

……………..14

解法三（空间向量法）以为原点建系，易得

设平面D的法向量由

得令得…………..12

又平面A的法向量

设二面角A--D的平面角为

所以…………..14