设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,. （...

设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.

（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；

（2）求证：直线恒过定点；

（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.

(本小题满分1４分) 【解析】 (1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为到的中点的距离为，从而过三点的圆的方程为．易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而过抛物线上点的切线方程为即又切线过点，所以得 ① 即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分即点，均满足即，故直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而，此时，所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为，，，所以的中点坐标为故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．．．．．7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即又切线过点，所以得 ① 即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分即点，均满足即，故直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）解法一：由（2）中①②两式知是方程的两实根，故有（*）将，，代入上（*）式得 ∴ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②当时，，，不可能为直角三角形；．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ③当时，，. 因为，，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是. 所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形. ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，所以当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形；．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当时，即时，与不垂直。因为，，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是. 所以当时，有或，为直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形. ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

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