Question

设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.

（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；

（2）求证：直线恒过定点.

Answer

 设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.

（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；

（2）求证：直线恒过定点；

【解析】
(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，

令，解得，

代入方程得，故得，       ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因为到的中点的距离为，

从而过三点的圆的方程为．

易知此圆与直线相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得    

，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．6分

从而过抛物线上点的切线方程为即

又切线过点，所以得    ①   即．．．．8分

同理可得过点的切线为，

又切线过点，所以得    ②  ．．．．10分

即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即点，均满足即，故直线的方程为     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得    

即：．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

从而，此时，

所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因为，，

，

所以的中点坐标为.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故直线的方程为，即.．．．．．．．．．．12分

又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又切线过点，所以得    ①   即．．．．．．．．８分

同理可得过点的切线为，

又切线过点，所以得    ②  即．．．．．．．．10分

即点，均满足即，故直线的方程为                                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分