Question

已知函数（a，b是不同时为零的常数），其导函数为.

（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于x的方程在上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.

Answer

已知函数（a，b是不同时为零的常数），其导函数为.

（1）当时，若不等式对任意恒成立，求b的取值范围；

（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于x的方程在上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.

【解析】
（1）当时，，………１分

依题意 即恒成立

，解得

所以b的取值范围是…………………………………４分

（2）因为为奇函数，所以，所以，.又在处的切线垂直于直线，所以，即.…………………………………………………6分

x

在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，，……………………………7分

法一:如图所示，作与的图像，若只有一个交点，则

x

①当时，，

y

即，解得；

-1

x

y

O

O

①

-1

②当时，，

解得；

②

③当时，不成立；

-1

x

④

y

④当时，，

x

O

y

即，解得；

⑤当时，，

y

O

解得；

x

⑥当时，.

………………………………………………………………………１３分

综上t的取值范围是或或.…………………１４分

法二：由.

作与的图知交点横坐标为，

当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。

所以当时，方程在上有且只有一个实数根.