Question

平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上 两点，所成的曲线可以是圆，椭圆或双曲线．

（I）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系．

(Ⅱ)当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，若曲线的斜率为的切线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），求曲线的方程．

Answer

【解析】
（I）设动点为M，其坐标为，

    当时，由条件可得，

即，

又的坐标满足，

故依题意，曲线的方程为．--------------3分

当曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；

当时，曲线的方程为，是圆心在原点，半径为2的圆；

当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；

当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线．

--------6分

（Ⅱ）曲线；，：，

      设圆的斜率为的切线和椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

    令直线AB的方程为，①

    将其代入椭圆的方程并整理得

    由韦达定理得

            ②

    因为  ，

    所以         ③

    将①代入③并整理得

    联立②得

               ④

    因为直线AB和圆相切，

    因此，，

    由④得

所以曲线的方程，即．-------12分