Question

 如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．

（1）求证：平面；  （2）求四棱锥的体积；

（3）求平面与平面所成角的余弦值．

Answer

（1）在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边．

因为，，

所以，所以．

因为四边形为正方形，，

所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因为平面，所以为四棱锥的高．

因为四边形为直角梯形，且，，

所以梯形的面积为．

所以四棱锥的体积．-----------8分

(3)由(1)(2)可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为．

则，即．

令，则．所以．

显然平面的一个法向量为．

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

所以平面与平面所成角的余弦值为． ------- 12分