Question

 如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设．

（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹

的方程；

（Ⅱ）过圆上一点

作圆的切线与轨迹交于两点，

若，试求出的值．

Answer

 （本小题满分１5分）

【解析】
（I）设，由已知得，

则直线的方程为，直线的方程为， ………………………4分

消去即得的轨迹的方程为．……………………………6分

（II）方法一：由已知得，又，则，……………8分

设直线代入得，

设，

则．…10分

由得，

即，

则， ……………………12分

又到直线的距离为，故．

经检验当直线的斜率不存在时也满足． …………………………………15分

方法二：设，则，且可得直线的方程为

代入得，

由得，即，

则，故．