Question

将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为，已知.

（Ⅰ）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）；

（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离” ，并用符号表示.试求的最大值.

Answer

 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．

【解析】
（Ⅰ）解法一：因为，， ……2分

所以        ………3分

.                    ………7分

解法二：平移到（移到，移到），………2分

由的坐标与的坐标相等，都等于点的坐标. ………3分

由平几知识易得直线的倾斜角为，

∵，∴根据三角函数的定义可得，

所以.  ………7分

（Ⅱ）解法一：，………8分

∵，∴，    ………9分

∴     ………11分

，              ………12分

所以当时，取得最大值.     ………13分

解法二：，………8分

∵，∴，即，

∴.  ………9分

∵，∴，

∴,   ………10分

+

      ,    ………12分

所以当时，取得最大值.     ………13分