Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.

　　　　

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；

（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.

Answer

 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.

【解析】
（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.

又∵，∴四边形是正方形，

∴.    ………1分

∵，

∴.     ………2分

又∵,  ∴.   ………3分

∵,

∴.    ………4分

证法二：∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ……1分

则，

，

∴，  …2分

∴.  …3分

又∵

∴.    …4分

证法三：∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ……1分

则,

.

设平面的法向量，

则，解得.

令，则，    ……3分

∵,    ∴.     ……4分

（Ⅱ）∵，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

∴,  …5分

，

令，得（舍去）或，

列表，得

1

+

0

－

递增

极大值

递减

∴当时，.    …8分

（Ⅲ）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

，

，.    ……9分

设平面的法向量，

则，解得,

令，则.    …10分

设平面的法向量，

则.

由于，所以解得.

令，则.   …11分

设二面角的平面角为，

则有.

化简得,解得（舍去）或.

  所以当时，二面角的平面角的余弦值为.   …13分