设函数.
(Ⅰ)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;
(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在()个正数…,使得成立?请证明你的结论.
如图,点为坐标原点,直线经过抛物线的焦点.
(Ⅰ)若点到直线的距离为,求直线的方程;
(Ⅱ)设点A是直线与抛物线在第一象限的交点.点B是以点为圆心,为半径的圆与轴负半轴的交点.试判断直线与抛物线的位置关系,并给出证明.
某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在170 ~175cm的男生人数有16人.
图(1) 图(2)
(Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?
(Ⅱ)根据频率分布直方图,完成下列的2×2列联表,并判断能有多大(百分几)的把握认为“身高与性别有关”?
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≥170cm |
<170cm |
总计 |
男生身高 |
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女生身高 |
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总计 |
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(Ⅲ)在上述80名学生中,从身高在170~175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法,抽出5人,从这5人中选派3人当旗手,求3人中恰好有一名女生的概率.
参考公式:
参考数据:
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0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
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5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
设的三个内角所对的边分别为.已知.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若,求的最大值.
如图1,在正方形中,,是边的中点,是边上的一点,对角线分别交、于、两点.将折起,使重合于点,构成如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:面;
(Ⅱ)试探究:在图1中,在什么位置时,能使折起后的几何体中//平面,并给出证明.
等比数列的各项均为正数,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.