Question

    如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，

侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．

    （Ⅰ）证明PA∥平面BDE；

    （Ⅱ）求二面角B－DE－C的余弦值；

    （Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF．

    证明你的结论．

Answer

 解（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

B（2，2，0）   

设 是平面BDE的一个法向量，

则由 

∵    …………4分 （2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．

设二面角B—DE—C的平面角为，

由图可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值为 ………………8分

（3）∵

∴

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

    则，

    由，

    即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF   ………12分