Question

    顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交x轴于点B₁，过点B₁作x轴的垂线交抛物线于点A₁，过点A₁作抛物线的切线交x轴于点B₂，…，过点作抛物线的切线交x轴于点．

    （I）求数列{ x_n }，{ y_n}的通项公式；

（II）设，数列{ a_n}的前n项和为T_n．求证：；

（III）设，若对于任意正整数n，不等式…≥成立，求正数a的取值范围．

Answer

 （I）由已知得抛物线方程为．  ………………………………………2分

        则设过点的切线为．

        令，故．

        又，所以，． ……………………………………………4分

（II）由（1）知．

     所以

            ++1+

            ) ．……………………………………………6分

由，，

得．

所以))．…………………………7分

从而

      ，

即．…………………………………………………………………9分

（III）由于，故．

       对任意正整数n，不等式成立，

       即恒成立．

      设，………………………………10分

      则．

     故==

     所以，故递增．…………………………………………12分

     则．

     故．…………………………………………………………………14分