Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示：

（I）求证：PA⊥BD；

（II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30^o？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

 （I）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

        连接AC、BD交于点O，连接PO ．     ………………………………………2分

        因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，………………………………4分

        即BD⊥PA．        ………………………………………………………………6分

（II）由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，

因为AC⊥OQ，AC⊥OD，   

所以∠DOQ为直线OQ与平面ABCD所成的角   ……8分

在△POD中，PD＝2，OD＝，则∠PDO＝60o，

在△DQO中，∠PDO＝60o，且∠QOD＝30o．所以DP⊥OQ．       ……10分

所以OD＝，QD＝．

所以．      ……………………………………………………………12分