Question

 设，椭圆方程为，抛物线方程为，如图所示，过点F（0，）作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。

    （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

    （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。

Answer

 【解析】
（1）由得，

    当得，∴G点的坐标为（4，），

    法一：，与抛物线联立，

    △=0，解得；

    法二：由椭圆方程得点的坐标为（，0），

    根据抛物线光学性质，∴即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

    （2）∵过A作轴的垂线与抛物线只有一个交点P，

∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，

同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个。

若以∠APB为直角，设P点坐标为（），A、B两点的坐标分别为和（，0），，

    关于的二次方程有一大于等于1的解，∴有两解，

    即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个，

    因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形。