Question

 已知函数f(x)＝x³＋2bx²＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．

Answer

【解析】
(1)由已知，得切点为(2,0)，故有f(2)＝0，

即4b＋c＋3＝0，①

f′(x)＝3＋4＋c，由已知，得f′(2)＝12＋8b＋c＝5.即8b＋c＋7＝0.②

联立①、②，解得b＝－1，c＝1，

于是函数解析式为f(x)＝－2＋x－2.

(2)g(x)＝f(x)＋mx＝－2＋x－2＋mx，g′(x)＝3－4x＋1＋，令g′(x)＝0.

当函数有极值时，Δ≥0，方程3－4x＋1＋＝0有实根，

由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.

①当m＝1时，g′(x)＝0有实根x＝，在x＝左右两侧均有g′(x)>0，故函数g(x)无极值．

②当m<1时，g′(x)＝0有两个实根，

＝(2－)，＝(2＋)，

当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，)

(，)

(，＋∞)

g′(x)

＋

0

－

0

＋

g(x)



极大值



极小值



故在m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值：

当x＝(2－)时，g(x)有极大值；

当x＝(2＋)时，g(x)有极小值．