Question

（理）已知数列{a_n}的前n项和，且=1，

.

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

< f’(x)”．若且函数y=xⁿ⁺¹在(0,+∞)上是凹函数，试判断b_n与b_n+1的大小；

（III）求证：≤b_n<2.

(文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

（I）求点M的轨迹方程；

（II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

         点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为

         锐角三角形时t的取值范围．

Answer

 （理）(1)Sn=an，∴Sn+1=an+1，an+1=Sn+1-Sn=an+1-an，∴= (n≥2)         (2’)

∴==…==1，∴an+1=n，an=n-1 (n≥2)，又a1=0，∴an=n-1                  (4’)

   （2）bn+1=(1+ )n+1，bn=(1+ )n，

∵<(n+1)·(1+ )n                                   (7’)

整理即得：(1+ )n<(1+ )n+1，即bnbn-1­>…>b­1=                                               (10’)

又Cnr·()r=(··…)·()r≤()r，(0≤r≤n)，

∴bn≤1+ +()2+…+()n=2-()n<2，∴≤bn<2                          (14’)

考点解析：这种“新概念”题需要较好的理解、分析能力，放缩法证明不等式是不等式证明的常用方法，也具有一定的灵活性，平时要注重概念的学习，常见题型的积累，提高思维能力和联想变通能力．

（文）（1）设A（a,0）,B(0,b),P(x,y),由得——2’

由得点P轨迹方程为——2’

当时，C的方程为——1’

设直线方程为与C方程联立得-1=0

易得

——2’

点Q到直线的距离为——2’

得，当且仅当-2时——1’

S有最大值——2’