Question

在数列中，已知，且.

（1）若数列为等差数列，求p的值；

（2）求数列的通项公式；

Answer

 【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．

由题意得，[a1＋(n－1)d](a1＋nd)＝n2＋3n＋2对n∈N*恒成立．

即d2n2＋(2a1d－d2)n＋(a12－a1d)＝n2＋3n＋2． 

所以即或

因为a1＝p＞0，故p的值为2．………………………………………6分

  （2）因为an＋1×an＝n2＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)，所以an＋2×an＋1＝(n＋2)(n＋3)．

所以＝． 

①当n为奇数，且n≥3时，＝，＝，…，＝．

相乘得＝，所以an＝p．当n＝1时也符合．

②当n为偶数，且n≥4时，＝，＝，…，＝．

相乘得＝，所以an＝a2．

因为a1×a2＝6，所以a2＝．所以an＝，当n＝2时也符合．

所以数列{an}的通项公式为an＝    ………………………12分