Question

已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且，，

∈R．

（1）求θ的值；

（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer

 【解析】
（1）由题意，≥0在上恒成立，即．

………………………………………………1分

   ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，

   只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．……4分

（2）由（1），得．．

∵在其定义域内为单调函数，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．………………………6分

 等价于，即，

   而 ，（）max=1，∴． …………………………………7分

等价于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

综上，m的取值范围是．………………………………………9分

（3）构造，．

当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个使得成立． ………………………………………………………11分

当时，．

因为，所以，，所以在恒成立．

故在上单调递增，，只要，

解得

故的取值范围是．…………………………13分