Question

 已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4，如果直线：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．

  (1)求椭圆方程；

  (2)设直线与椭圆的一个交点为P，F是椭圆的一个焦点，试探究以PF为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系；

  (3)把(2)的情况作一推广：写出命题（不要求证明）．

Answer

 【解析】
(1)设椭圆方程为 (a>b>0)

          直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是，代入椭圆方程得：

            又   a2=b2+c2

          ∴ a=2     C=1

          ∴                ………………5分

        (2)由(1)知，直线与椭圆的一个交点为，F(1,0)，则从PF为直径的圆的方程，圆心为，半径为

          以椭圆长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心(0，0)，半径为2

          两圆圆心之间距离为

          ∴ 两圆内切               ………………8分

         P、F为其它三种情况时，两圆都为内切     ………………10分

       (3)如果椭圆的方程是 (a>b>0)，P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆是内切关系。                    …………13分

        （如P写成椭圆上的定点，此问只给1分）