Question

    已知函数（）．

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

Answer

 【解析】
（Ⅰ）易知函数的定义域是，

    ．…………1分 

    ①当时，即时, 令,解得或;

    令,解得．……………2分

    所以，函数在和上单调递增,在上单调递减

    ②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；……………3分

    ③当时，即时, 令,解得或;

      令,解得．……………4分

    所以，函数在和上单调递增,在上单调递减

综上所述，

⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；

⑵当时,函数在上单调递增；

⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．……………5分

（Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”．

    设,是曲线上的不同两点，且，

    则

    ……………7分

    曲线在点处的切线斜率

，……………8分

依题意得：．

化简可得： ，即=． ……………10分

    设 （），上式化为：,   即． ………12分

    令,．

    因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立．

    所以在内不存在,使得成立．

    综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”．……………14分