Question

 选修4-1：几何证明与选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B．C，的平分线分别交AB．AC于点D．E．

（1）证明：.

（2）若AC=AP,求的值.

Answer

 （本小题满分10）选修：几何证明与选讲                        

【解析】
(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴ ∠BAP=∠C，  ………………………………2分

又 ∵ ∠APD=∠CPE,

∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,    …………………………4分

∴ ∠ADE=∠AED．    …………………………5分

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴ △APC∽△BPA, ∴,   ……………7分

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．           ………………………………9分

在Rt△ABC中，=, ∴ =．………………………………10分