Question

 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知BC＝1，BB₁＝2，AB⊥平面BB₁C₁C.

(1)求直线C₁B与底面ABC所成角的正切值；

(2)在棱CC₁(不包括端点C、C₁)上确定一点E的位置，使EA⊥EB₁(要求说明理由)；

(3)在(2)的条件下，若AB＝，求二面角A－EB₁－A₁的大小．

Answer

 【解析】
以B为坐标原点，BC、BB1、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1(0,2,0)．

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC的一个法向量为＝(0,2,0)，又＝(1,2,0)，设BC1与平面ABC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝，

∴tanθ＝2，即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.………………………3分

(2)设E(1，y,0)，A(0,0，z)，则＝(－1,2－y,0)，＝(－1，－y，z)，∵EA⊥EB1，∴·＝1－y(2－y)＝0，∴y＝1，即E(1,1,0)，∴E为CC1的中点．

……………6分

(3)由题知A(0,0，)，则＝(1,1，－)，＝(1，－1，0)，设平面AEB1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则

∴

令x1＝1，则n＝(1,1，)

∵＝(1,1,0)，

∴·＝＝0.

∴BE⊥B1E.又BE⊥A1B1，

∴BE⊥平面A1B1E.

∴平面A1B1E的一个法向量为BE＝(1,1,0)

∴cos〈n，〉＝＝.

∴二面角A－EB1－A1的大小为45°………………………………………………10分