Question

 已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l₁，|DB|＝l₂，求＋的最大值．

Answer

 【解析】
(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)，

∵·＝·，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．

即2(y＋1)＝x (y－1)，即x2＝4y，

所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.……………………………………………4分

(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a2＝4b.                          ①

圆M的半径为|MD|＝.

圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.

令y＝0，则(x－a)2＋b2＝a2＋(b－2)2，

整理得，xax＋4b－4＝0.                                      ②

由①、②解得x＝a±2.

不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)，

∴l1＝，l2＝.

∴＋＝＝

＝2＝2，                                ③

当a≠0时，由③得，＋＝2≤2＝2.

当且仅当a＝±2时，等号成立．

当a＝0时，由③得，＋＝2.

故当a＝±2时，＋的最大值为2.………………………………………10分