Question

 如图，四棱锥的底面为矩形，且，

，，

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 

Answer

 （本小题满分１4分）

（I）证明：由题意得且

又，则     ……………………………3分

则平面, 故平面平面………………6分

（Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则,,

可得, ……………………………8分

平面ABCD的单位法向量为，…………10分

设直线PC与平面ABCD所成角为，则 …13分

则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 …………………………………14分

解法2：由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又∴

在Rt△PEC中.