Question

 已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，；分别为椭圆的长轴和短轴的端点(如图) . 若四边形的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点任意作一条直线，交抛物线于两点. 证明：以为直径的所有圆是否过抛物线上一定点.

Answer

 【解析】
(1)根据题意设椭圆方程为,

由已知,,则，又,

，    ，所求的椭圆方程为.  ….…6分

(2) 根据题意知抛物线方程为: ，设满足题意的点为，

设其中，因为是直径，所以，

  ，

整理为：   …… ……（※）

同时，

整理为：  代入点得：

即有：,将其代入（※）式中整理为：

显然时上式恒成立, 进而算得，所以为定点，从而说明满足题意的存在为.   当直线垂直于轴时,易求得以为直径的圆为，同样可检验其经过.                     ….…15分

方法二：（2）设设直线AB的方程为，与联立消有,

，

以AB为直径的圆的方程为，即

，代入，有

，

即，

令. …. …15分