Question

    已知平面内一动点到点的距离等于它到直线的距离．

    （Ⅰ）求动点的轨迹的方程;

    （Ⅱ）若直线与曲线交于两点,且,又点,求的最小值．

Answer

 【解】（Ⅰ）依题知动点的轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线,……1分

       所以其标准方程为 …………………………4分

（Ⅱ）设,则

因为,所以

即（※）………………………6分

又设直线,代入抛物线的方程得,

所以,且…………………8分

也所以,

所以（※）式可化为,,

即 ,得,或………………… ……10分

此时恒成立．

又,且,

所以

由二次函数单调性可知,当时,有最小值．……… ……13分

〖二法〗设,则

因为,所以

即（※）………………………6分

（i）若直线斜率不存在时,则,

    代入（※）式得,又,

    所以,即,

    所以

    …………………9分

    （ii）当直线斜率存时,设直线,

代入抛物线方程消去得,

所以,且……………10分

所以,

所以（※）式可化为

即,或……………12分

又,知恒成立．（）

,且,

所以

由二次函数单调性可知

综上（i）（ii）知, 有最小值．…………………………13分