Question

如图，在直三棱柱中，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；   （Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）（理科）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结．

由 是直三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点．

又为中点，所以为中位线，

所以 ∥，

因为 平面，平面，

所以 ∥平面．   ………………4分

（Ⅱ）【解析】
由是直三棱柱，且，故两两垂直．

如图建立空间直角坐标系．

设，则．

所以 ，

    设平面的法向量为，则有

所以  取，得．

易知平面的法向量为．

由二面角是锐角，得 ．     ………………8分

所以二面角的余弦值为．

（Ⅲ）【解析】
假设存在满足条件的点．

因为在线段上，，，故可设，其中．

所以 ，．

因为与成角，所以．

即，解得，舍去．

所以当点为线段中点时，与成角．        ………………12分