Question

 如图（1）在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））

    （I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

    （II）求二面角E-DF-C的余弦值；

    （III）在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论．

 

Answer

 （I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分

【解】（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………………………  9分

证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得

∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线

上，过Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE  

∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE．但P在BC的延长线上。………………… 12分

【法二】（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0），

C（0，．………………………  5分

取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，

则 得，…………6分

，……………………………………… 7分

所以二面角E—DF—C的余弦值为；…………………………… 8分

【解】（Ⅲ）设，

        又， ………………………………………  9分

         ………………………11分

    把，可知点P在BC的延长线上

    所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE．……………………………………………… 12分