Question

    已知函数f （x）=lnx，g（x）=e^x．

    （I）若函数φ （x） = f （x）－，求函数φ （x）的单调区间；

    （Ⅱ）设直线l为函数 y＝f （x） 的图象上一点A（x₀，f （x₀））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

    注：e为自然对数的底数．

Answer

【解析】
（Ⅰ） ，

． 2分

∵且，

∴

∴函数的单调递增区间为．  4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切线的方程为, http://www.7caiedu.cn/

     即, ①     6分

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．   8分

     ∴直线也为，

即，  ②  9分

    由①②得 ，

∴． 11分

     下证：在区间（1，+）上存在且唯一．

由（Ⅰ）可知，在区间上递增．

又，，  13分

    结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                                             

    故结论成立．